*PRECALCULO

PRECALCULO

SISTEMA DE COORDENADAS LINEALES.

Un punto cualquiera de una recta puede asociarse y representarse con un número real, positivo si está situado a la derecha de un punto O, y negativo si está a la izquierda. Dicho punto se llama centro de coordenadas O (letra O) y se asocia al valor 0 (cero).

Corresponde a la dimensión uno, que se representa con el eje X, en el cual se define un centro de coordenadas, simbolizado con la letra O (de origen) y un vector unitario en el sentido positivo de las x.

Este sistema de coordenadas es un espacio vectorial de dimensión uno, y se le pueden aplicar todas las operaciones correspondientes a espacios vectoriales. También se le llama recta real.

NÚMEROS REALES & SU CLASIFICACIÓN

Un número real puede ser un número racional o un número irracional. Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, tal como 3/4, −21/3, 5, 0, 1/2, mientras que los irracionales son todos los demás. Los números racionales también pueden describirse como aquellos cuya representación decimal es eventualmente periódica, mientras que los irracionales tienen una expansión decimal aperiódica:
Ejemplos 1/4 = 0,250000… ES un número racional puesto que es periódico a partir del tercer numero decimal. 5/7 = 0,7142857142857142857…. ES racional y tiene un período de longitud 6 (repite 714285).
(3√7

SISTEMAS DE COORDENADAS RECTANGULARES
 

     El sistema de coordenadas cartesianas es formado por dos rectas; una horizontal y otra vertical, en el cual ambos se intersecan en el punto  0  de cada recta. Las dos rectas son llamados ejes.

     Estos dos ejes dividen el plano cartesiano en 4 secciones llamadas  cuadrantes. Estos cuadrantes son numerados en forma “contra el reloj” del I al IV de la siguiente forma:

 Cada punto en el plano se puede identificar por un par de números  llamado par ordenado. El primer numero del par, que  se llama la abscisa; está en la recta  horizontal, el eje de x.  El segundo numero  del par se llama la  ordenada que se encuentra en la recta vertical, el eje de y.

  

(1, 4)

                                                                      Eje de x              Eje de y
                                                                     Abscisa               Ordenada
 

Los números negativos y positivos se colocan de la siguiente manera:

El sistema de coordenadas es usada además de localización de puntos en el plano, para graficar el conjunto de soluciones de ecuaciones de dos variables como:

y = 4x + 8
y = x² + 2x + 5
3y = 5x + 8
 

Digamos que queremos hacer la gráfica  la ecuación lineal  y = 3x + 7 . Hay que asignar valores a la  x  y resolverlo  para encontrar el valor de  y.  Con  los resultados se  formaran  los puntos de la gráfica de la siguiente manera:

Ej.  Encontrar los puntos de la ecuación  y = 3x + 7. Vamos a utilizar la siguiente tabla para organizar el trabajo. Le daremos a  la x , los valores  de -2, -1, 0, 1 y 2
 

x	y
-2
-1
0
1
2

Y = 3x + 7
Y = 3(-2) + 7    [Cuando la x es -2, la y es 1]
Y = -6 + 7
Y = 1
 

Y = 3x + 7
Y = 3(-1) + 7    [Cuando la x es -1, la y es 4]
Y = -3 + 7
Y =4
 

Y = 3x + 7
Y = 3(0) + 7    [Cuando la x es 0, la y es 7]
Y = 0 + 7
Y = 7

Y = 3x + 7

Y=3(1) + 7

Y= 3 + 7

Y = 10            [Cuando la x es 1, la y es 10]

Y = 3x + 7

Y= 3(2) + 7

Y= 6 + 7

Y = 13            [Cuando la x es 2, la y es 13]

x	y
-2	1
-1	4
0	7
1	10
2	13

Y así se resuelve con cada valor que le quieras dar a la x  de la tabla. Es por esto que x se llama la variable independiente, ya que le puedes dar cualquier valor de su dominio, que son los valores permitidos para la x. En el caso de está ecuación lineal, x puede ser cualquier número real, pero en nuestro estudio se encontrarán ecuaciones que tienen restricciones en su dominio.

Veamos como queda la gráfica de la ecuación  y = 3x + 7.

Desigualdad e intervalos

Desigualdades:

       Una desigualdad es una proposición que enuncia una relación entre cantidades diferentes. Los símbolos que se utilizan son: > "mayor que" < "menor que"

Postulados:

Postulado aditivo Si a dos miembros de una desigualdad se suman o restan cantidades iguales, el resultado es una desigualdad del mismo sentido.

6>4 y 3=3

Entonces 6 + 3 > 4 + 3

o sea 9>7

Si dos miembros de una igualdad se restan los dos miembros de una desigualdad, el resultado es otra desigualdad de sentido opuesto al de la desigualdad.

10 = 10 y 6>3

entonces 10-6 < 10-3

o sea 4<7

Si cantidades desiguales se multiplican o dividen por un mismo número positivo, las resultantes son desigualdades en el mismo sentido que las primitivas.

Si 5 > 3

Entonces (2) (5) > (2) (3)

O sea 10 > 6

Si cantidades desiguales se multiplican o dividen por un mismo número negativo, las resultantes son desigualdades en sentido opuesto al de las primitivas.

Si 5 > 3

Entonces (-2) (5) < (-2) (3)

o sea - 10 < -6

INTERVALOS DE LA RECTA REAL

Intervalos son conjuntos de números reales que coinciden con tramos de la recta real. Para ello hay una notación específica. Hay distintos tipos de intervalos:

              Intervalo abierto (a,b). Está formado por los números reales x comprendidos entre a y b, excluidos ambos. Se expresa: a< x < b.

              Intervalo cerrado [a,b]. Está formado por los números reales x comprendidos entre a y b, incluidos ambos. Se expresa a≤ x ≤b.

                 Intervalo abierto a la derecha [a,b). Está formado por los números reales x comprendidos entre a y b, incluido a. Se expresa

a≤ x < b

               Intervalo abierto a la izquierda (a,b]. Está formado por los números reales x comprendidos entre a y b, incluido b. Se expresa

a< x ≤b.