*FUNCIONES

FUNCIONES

Función matemática

Función: Conjunto de pares ordenados (x,y) en los que no existen dos pares ordenados con el mismo primer número 

(es decir, con el mismo valor de “x” y diferente valor “y”).

En Matemáticas, dados dos conjuntos X e Y, una función o aplicación de X en Y es una correspondencia matemática denotada
que cumple con las siguientes dos condiciones:

Condición de existencia: Todos los elementos de X están relacionados con elementos de Y.

Condición de unicidad: Cada elemento de X esta relacionado con un único elemento de Y.
Una función es un caso particular de relación y de correspondencia matemática. Cada relación o correspondencia de un elemento con un (y sólo un).

Dominio
El dominio de una función está ligado a la definición de función.
Una función es una relación que asigna a cada elemento de un conjunto X uno y sólo un elemento de un conjunto Y.
Al conjunto X se le llama dominio de la función y a sus elementos se les denomina también valores de entrada. La variable "x" es considerada la variable independiente y en el sistema coordenado se suele graficar en el eje horizontal.
El conjunto Y recibe el nombre de Contradominio o Rango de la función y son los valores de salida. La variable "y" es la variable dependiente (depende de "x") y se grafica en el eje vertical, se le considera el valor de la función. Por eso se pone y = f (x)
Resulta sumamente práctico tener siempre en cuenta la definición de función, los conceptos de valores de entrada y de salida.


El DOMINIO de una función es el conjunto de todos los valores de entrada que al aplicar la función llevan a un valor de salida.
Esto automáticamente nos lleva a ciertas meditaciones con respecto a las funciones que queremos estudiar:
¿Cuáles de ellas tienen restricciones de dominio (hay uno o varios valores de entrada que no llevan a un valor de salida)?
¿Hay intervalos completos de valores de "x" donde no se tienen valores de salida?
¿Será característico el dominio de los diferentes tipos de funciones?
¿Cómo calcular estos valores de entrada que no dan valores de salida?
Sabiendo cómo son los intervalos abiertos, cerrados, semiabiertos e infinitos, podemos comenzar.
Si el dominio se refiere a todos los valores de entrada que llevan a un valor de salida en una función, entonces debemos preguntarnos cómo descubrir los valores de entrada en los diferentes tipos de funciones que no nos llevan a un valor de salida (interprétese esto, como si no se puede calcular el valor de la función). Estos valores tienen que ser excluidos del dominio de la función.

Tipo de función y Ejemplo

Búsqueda de restricciones de dominio

Solución

Notación del Dominio

Polinómicas

No tienen restricciones de dominio

No se tiene que calcular nada

D = (-oo,oo) oo es el signo para infinito

Racional 1 f(x) = 1 / (x-4)

Sus restriciones de dominio se encuentran debido a la imposibilidad de dividir entre cero.

Se iguala el denominador a cero, para saber qué valores se deben excluir del dominio x-4=0 ; x = 4 se excluye del dominio Analícese la forma en que están unidos los intervalos, uno termina sin incluir el 4 y el otro comienza sin incluir el 4, por lo tanto el 4 está excluido del dominio.

D = (-oo,4)U(4,oo)

Racional 2

Existen funciones racionales en las cuales el denominador nunca puede ser cero, por lo tanto no tienen restricciones de dominio

Si se iguala el denominador a cero, y no se obtienen valores de x para los cuales el denominador es cero, no hay restricción de dominio  nunca puede dar cero, ya que cualquier valor de x elevado al cuadrado es positivo y sumándole 1 sigue siendo positivo

D = (-oo,oo)

Radical

Las raíces con índice par no tienen solución, si la cantidad debajo del signo del radical es negativa. Esto generalmente genera intervalos de restricciones de dominio

Se resuelve la desigualdad para impedir que el radicando sea negativo x - 8 > 0 x - 8 debe ser mayor o igual a cero, para poder sacar la raíz. Nótese que el intervalo es semicerrado, ya que incluye el 8

D = [8, oo)

Exponencial

No tiene restricciones de dominio

Para cualquier valor de x de entrada hay un valor de salida

D = (-oo, oo)

Logarítmica

No existe el logaritmo de cero ni de un número negativo, por lo tanto se tienen que buscar los valores de x para los cuales si se pueda sacar el logaritmo.

Solo se puede sacar el logaritmo de x-cuadrada menos 1 si esta expresión es positiva. Para x>1 y x<-1 el valor de  es positivo

D = (-oo,-1)U(1,oo)

Mixta 1

Cuando una función es combinación de varias funciones, entonces hay que tener en cuenta cada una de las condiciones anteriores.

La función tiene un denominador que debe ser diferente de cero, pero al mismo tiempo es un radical de índice par, por lo cual no debe ser negativa la cantidad bajo el radical. Por lo tanto

D= (-oo,-2)U(2,oo)

              Se llama Contradominio, Rango o Imagen de una función al conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente, es decir, es el conjunto de valores que puede alcanzar la función. El Contradominio de una función del tipo y = f(x) suele representarse con alguna de estas expresiones: C_f, Rango (f), Im (f).

              El Contradominio, también llamado rango de la función, es el nombre que se le da al segundo conjunto. Esto es, aquel en donde se encuentran los valores relacionados con los elementos del primer conjunto o dominio. Si la función es f: A→ B, el Contradominio es B.