DERIVADAS

DERIVADA DE UNA FUNCION

El estudio de uno de los conceptos fundamentales del cálculo diferencial: la derivada de una función.

En matemáticas, la derivada de una función es uno de los dos conceptos centrales del cálculo. 

La derivada de una función en un punto “a” surge del problema de calcular la tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa “a”, y fue Fermat el primero que aportó la primera idea al tratar de buscar los máximos y mínimos de algunas funciones. En dichos puntos las tangentes han de ser paralelas al eje de abscisas, por lo que el ángulo que forman con éste es de cero grados. En estas condiciones, Fermat buscaba aquellos puntos en los que las tangentes fueran horizontales

La derivada de una función en un punto mide, por tanto, la pendiente de la tangente a función en dicho punto. Nos va a servir para estudiar el crecimiento o decrecimiento de una función o la concavidad o convexidad de la misma en los diferentes intervalos en los que se puede descomponer su campo de existencia.

. Es importante tener en cuenta que hay funciones que no tienen derivadas en un punto, y que para que una función tenga derivada, la función debe ser continua pero no todas las funciones continuas son derivables en todos sus puntos

RAZON DE CAMBIO
Comenzando por la Razón Instantánea de Cambio de una función cuya variable independiente es el tiempo t. suponiendo que Q es una cantidad que varía con respecto del tiempo t, escribiendo Q=f(t), siendo el valor de Q en el instante t. Por ejemplo

·         El tamaño de una población (peces, ratas, personas, bacterias,…)

·         La cantidad de dinero en una cuenta en un banco

·         El volumen de un globo mientras se infla

·         La distancia t recorrida en un viaje después del comienzo de un viaje

El cambio en Q desde el tiempo t hasta el tiempo t+"t, es el incremento
La Razón de Cambio Promedio de Q (por la unidad de tiempo) es, por definición, la razón de cambio "Q en Q con respecto del cambio "t en t, por lo que es el cociente
Definimos la razón de cambio instantánea de Q (por unidad de tiempo) como el límite de esta razón promedio cuando "t!0. Es decir, la razón de cambio instantánea de Q es

Lo cual simplemente es la derivada f´(t). Así vemos que la razón de cambio instantánea de Q=f(t) es la derivada

La interpretación intuitiva de la razón de cambio instantánea, pensamos que el punto P(t,f(t)) se mueve a lo largo de la gráfica de la función Q=f(t). Cuando Q cambia con el tiempo t, el punto P se mueve a lo largo da la curva. Pero si súbitamente, en el instante t, el punto P comienza a seguir una trayectoria recta, entonces la nueva trayectoria de P corresponde que Q cambia a una razón constante.
También como conclusión tenemos que si la pendiente de la recta tangente es positiva ésta es ascendente y si le pendiente es negativa ésta es descendente, así

Q es creciente en el instante t si

Q es decreciente en el instante t si

La derivada de cualquier función, no solamente una función del tiempo, puede interpretarse como una razón de cambio instantánea con respecto de la variable independiente. Si y=f(x), entonces la razón de cambio promedio de y (por un cambio unitario en x) en el intervalo [x,x+"x] es el cociente.

INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA

Uno de los problemas históricos que dieron origen al cálculo infinitesimal es muy antiguo, data del gran científico griego Arquímedes (287 – 212 a.C.) es el llamado: problema de las tangentes y que se describe a continuación.  Dada una curva cuya ecuación referida al plano cartesiano viene dada por y = f (x) (fig. 9.5.).  fig. 9.5. Sea P un punto fijo de la curva y sea Q un punto móvil de la curva y próximo a P.  La recta que pasa por P y Q se denomina: recta secante.  Cuando el punto Q se mueve hacia P sobre la curva, adoptando las posiciones sucesivas: Q1, Q2, Q3, ..., Qn, ..., entonces, la posición límite (si existe) de la secante, se denomina: la recta tangente a la curva en P.  Ahora, si las coordenadas de los puntos P y Q son respectivamente:  ,  (Ver fig. 9.6.), entonces, la pendiente de la recta secante  , denotada por  viene dada por:  fig. 9.6. En consecuencia, la recta tangente a la curva en P (si no es vertical), es la recta cuya pendiente  viene dada por:  De esta forma, la ecuación de la recta tangente a la curva en  es:  (Punto – Pendiente)

Función derivada y derivadas sucesivas

Una función       es derivable en el intervalo       si lo es en cada punto de dicho intervalo.

Si       es una función derivable en el intervalo     , la función derivada de       es la que a cada       le hace corresponder la derivada de   en dicho punto. Esta función se designa por    .

Llamamos derivada de segundo orden o derivada segunda de       a la función derivada de    . Esta función se denota por    .

Llamamos derivada de tercer orden o derivada tercera de       a la función derivada de    . Esta función se denota por    .

En general,   llamamos derivada n-ésima de       y la denotamos por       a la función derivada de    .

Así