LIMITES
LIMTES
DE UNA FUNCION
Sea f una
función. Estamos interesados en el valor de la función f(x) cuando x se aproxima a un valor c,
pero no es necesariamente igual a c.
Esto es, ¿según x se aproxima más y más a c (pero x no es igual a c) se acerca f(x) más y más a
un valor L? Si la respuesta es si, decimos que "f(x) tiende a L según x se
aproxima a c", y se
representa en forma simbólica de la forma:
La frase "x se aproxima a c" o "x tiende a c" significa que
independientemente de lo próximo que esté x del valor c , existe siempre otro valor de x
(distinto de c) en el
dominio de f está aún más próximo a c .
Una función no puede tender a dos límites distintos
a la vez. Esto es, si el límite
de una función existe, es único.
CONTINUIDAD
Intuitivamente, la continuidad significa que un
pequeño cambio en la variable x implica sólo un pequeño cambio en el valor de
f(x), es decir, la gráfica consiste de un sólo trozo de curva.
En contraste, una gráfica como la de la función f(x)
= sgn x (signo de x) que consiste de pedazos de curva separados por un vacío en
una abcisa exhibe allí una discontinuidad.
La continuidad de la función f(x) para un valor a
significa que f(x) difiere arbitrariamente poco del valor f(a) cuando x está suficientemente
cerca de a.
Expresemos esto en términos del concepto de límite...
Continuidad
Una función f(x) es continua en un punto a si limx->af(x)
= f(a).
Nota: observar
que debe existir f(a) y debe existir el limx->a f(x) y
debe ser igual a f(a).
Ejemplos de discontinuidad
Sin embargo, si miramos la función para x próximos a
2 pero menores, e ignoramos los x mayores que 2, la función es continua en 2
"por la izquierda".
Definición
Continuidad por la izquierda
Una función f(x) es continua por la izquierda en el
punto a si existe f(a) ylimx->a-f(x) = f(a).
Definición
Continuidad por la derecha
Una función f(x) es continua por la derecha en el
punto a si existe f(a) ylimx->a+f(x) = f(a).
La función anterior es continua por la izquierda en
x=2, pero no por la derecha.
Definición
Continuidad en un intervalo cerrado [a,b]
Una función f(x) es continua en un intervalo cerrado
[a,b] si:
f es continua en a por la derecha
f es continua en b por la izquierda
f es continua en x, para todo x perteneciente al intervalo abierto (a,b).
f es continua en a por la derecha
f es continua en b por la izquierda
f es continua en x, para todo x perteneciente al intervalo abierto (a,b).
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