DERIVADAS

DERIVADA DE UNA FUNCION

El estudio de uno de los conceptos fundamentales del cálculo diferencial: la derivada de una función.

En matemáticas, la derivada de una función es uno de los dos conceptos centrales del cálculo. 

La derivada de una función en un punto “a” surge del problema de calcular la tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa “a”, y fue Fermat el primero que aportó la primera idea al tratar de buscar los máximos y mínimos de algunas funciones. En dichos puntos las tangentes han de ser paralelas al eje de abscisas, por lo que el ángulo que forman con éste es de cero grados. En estas condiciones, Fermat buscaba aquellos puntos en los que las tangentes fueran horizontales

La derivada de una función en un punto mide, por tanto, la pendiente de la tangente a función en dicho punto. Nos va a servir para estudiar el crecimiento o decrecimiento de una función o la concavidad o convexidad de la misma en los diferentes intervalos en los que se puede descomponer su campo de existencia.

. Es importante tener en cuenta que hay funciones que no tienen derivadas en un punto, y que para que una función tenga derivada, la función debe ser continua pero no todas las funciones continuas son derivables en todos sus puntos

RAZON DE CAMBIO
Comenzando por la Razón Instantánea de Cambio de una función cuya variable independiente es el tiempo t. suponiendo que Q es una cantidad que varía con respecto del tiempo t, escribiendo Q=f(t), siendo el valor de Q en el instante t. Por ejemplo

·         El tamaño de una población (peces, ratas, personas, bacterias,…)

·         La cantidad de dinero en una cuenta en un banco

·         El volumen de un globo mientras se infla

·         La distancia t recorrida en un viaje después del comienzo de un viaje

El cambio en Q desde el tiempo t hasta el tiempo t+"t, es el incremento
La Razón de Cambio Promedio de Q (por la unidad de tiempo) es, por definición, la razón de cambio "Q en Q con respecto del cambio "t en t, por lo que es el cociente
Definimos la razón de cambio instantánea de Q (por unidad de tiempo) como el límite de esta razón promedio cuando "t!0. Es decir, la razón de cambio instantánea de Q es

Lo cual simplemente es la derivada f´(t). Así vemos que la razón de cambio instantánea de Q=f(t) es la derivada

La interpretación intuitiva de la razón de cambio instantánea, pensamos que el punto P(t,f(t)) se mueve a lo largo de la gráfica de la función Q=f(t). Cuando Q cambia con el tiempo t, el punto P se mueve a lo largo da la curva. Pero si súbitamente, en el instante t, el punto P comienza a seguir una trayectoria recta, entonces la nueva trayectoria de P corresponde que Q cambia a una razón constante.
También como conclusión tenemos que si la pendiente de la recta tangente es positiva ésta es ascendente y si le pendiente es negativa ésta es descendente, así

Q es creciente en el instante t si

Q es decreciente en el instante t si

La derivada de cualquier función, no solamente una función del tiempo, puede interpretarse como una razón de cambio instantánea con respecto de la variable independiente. Si y=f(x), entonces la razón de cambio promedio de y (por un cambio unitario en x) en el intervalo [x,x+"x] es el cociente.

INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA

Uno de los problemas históricos que dieron origen al cálculo infinitesimal es muy antiguo, data del gran científico griego Arquímedes (287 – 212 a.C.) es el llamado: problema de las tangentes y que se describe a continuación.  Dada una curva cuya ecuación referida al plano cartesiano viene dada por y = f (x) (fig. 9.5.).  fig. 9.5. Sea P un punto fijo de la curva y sea Q un punto móvil de la curva y próximo a P.  La recta que pasa por P y Q se denomina: recta secante.  Cuando el punto Q se mueve hacia P sobre la curva, adoptando las posiciones sucesivas: Q1, Q2, Q3, ..., Qn, ..., entonces, la posición límite (si existe) de la secante, se denomina: la recta tangente a la curva en P.  Ahora, si las coordenadas de los puntos P y Q son respectivamente:  ,  (Ver fig. 9.6.), entonces, la pendiente de la recta secante  , denotada por  viene dada por:  fig. 9.6. En consecuencia, la recta tangente a la curva en P (si no es vertical), es la recta cuya pendiente  viene dada por:  De esta forma, la ecuación de la recta tangente a la curva en  es:  (Punto – Pendiente)

Función derivada y derivadas sucesivas

Una función       es derivable en el intervalo       si lo es en cada punto de dicho intervalo.

Si       es una función derivable en el intervalo     , la función derivada de       es la que a cada       le hace corresponder la derivada de   en dicho punto. Esta función se designa por    .

Llamamos derivada de segundo orden o derivada segunda de       a la función derivada de    . Esta función se denota por    .

Llamamos derivada de tercer orden o derivada tercera de       a la función derivada de    . Esta función se denota por    .

En general,   llamamos derivada n-ésima de       y la denotamos por       a la función derivada de    .

Así

*LIMITES

LIMITES

LIMTES DE UNA FUNCION

Sea f una función. Estamos interesados en el valor de la función f(x) cuando x se aproxima a un valor c, pero no es necesariamente igual a c. Esto es, ¿según x se aproxima más y más a c (pero x no es igual a c) se acerca f(x) más y más a un valor L? Si la respuesta es si, decimos que "f(x) tiende a L según x se aproxima a c", y se representa en forma simbólica de la forma:

La frase "x se aproxima a c" o "x tiende a c" significa que independientemente de lo próximo que esté x del valor c , existe siempre otro valor de x (distinto de c) en el dominio de f está aún más próximo a c .

Una función no puede tender a dos límites distintos a la vez. Esto es, si el límite de una función existe, es único.

CONTINUIDAD

Intuitivamente, la continuidad significa que un pequeño cambio en la variable x implica sólo un pequeño cambio en el valor de f(x), es decir, la gráfica consiste de un sólo trozo de curva.

En contraste, una gráfica como la de la función f(x) = sgn x (signo de x) que consiste de pedazos de curva separados por un vacío en una abcisa exhibe allí una discontinuidad.

La continuidad de la función f(x) para un valor a significa que f(x) difiere arbitrariamente poco del valor f(a) cuando x está suficientemente cerca de a.

Expresemos esto en términos del concepto de límite...

Definición

Continuidad

Una función f(x) es continua en un punto a si lim_x->af(x) = f(a).

Nota: observar que debe existir f(a) y debe existir el lim_x->a f(x) y debe ser igual a f(a).

Ejemplos de discontinuidad

Sin embargo, si miramos la función para x próximos a 2 pero menores, e ignoramos los x mayores que 2, la función es continua en 2 "por la izquierda".

Definición

Continuidad por la izquierda

Una función f(x) es continua por la izquierda en el punto a si existe f(a) ylim_x->a-f(x) = f(a).

Definición

Continuidad por la derecha

Una función f(x) es continua por la derecha en el punto a si existe f(a) ylim_x->a+f(x) = f(a).

La función anterior es continua por la izquierda en x=2, pero no por la derecha.

Definición

Continuidad en un intervalo cerrado [a,b]

Una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a,b] si:
f es continua en a por la derecha
f es continua en b por la izquierda
f es continua en x, para todo x perteneciente al intervalo abierto (a,b).

*FUNCIONES

FUNCIONES

Función matemática

Función: Conjunto de pares ordenados (x,y) en los que no existen dos pares ordenados con el mismo primer número 

(es decir, con el mismo valor de “x” y diferente valor “y”).

En Matemáticas, dados dos conjuntos X e Y, una función o aplicación de X en Y es una correspondencia matemática denotada
que cumple con las siguientes dos condiciones:

Condición de existencia: Todos los elementos de X están relacionados con elementos de Y.

Condición de unicidad: Cada elemento de X esta relacionado con un único elemento de Y.
Una función es un caso particular de relación y de correspondencia matemática. Cada relación o correspondencia de un elemento con un (y sólo un).

Dominio
El dominio de una función está ligado a la definición de función.
Una función es una relación que asigna a cada elemento de un conjunto X uno y sólo un elemento de un conjunto Y.
Al conjunto X se le llama dominio de la función y a sus elementos se les denomina también valores de entrada. La variable "x" es considerada la variable independiente y en el sistema coordenado se suele graficar en el eje horizontal.
El conjunto Y recibe el nombre de Contradominio o Rango de la función y son los valores de salida. La variable "y" es la variable dependiente (depende de "x") y se grafica en el eje vertical, se le considera el valor de la función. Por eso se pone y = f (x)
Resulta sumamente práctico tener siempre en cuenta la definición de función, los conceptos de valores de entrada y de salida.


El DOMINIO de una función es el conjunto de todos los valores de entrada que al aplicar la función llevan a un valor de salida.
Esto automáticamente nos lleva a ciertas meditaciones con respecto a las funciones que queremos estudiar:
¿Cuáles de ellas tienen restricciones de dominio (hay uno o varios valores de entrada que no llevan a un valor de salida)?
¿Hay intervalos completos de valores de "x" donde no se tienen valores de salida?
¿Será característico el dominio de los diferentes tipos de funciones?
¿Cómo calcular estos valores de entrada que no dan valores de salida?
Sabiendo cómo son los intervalos abiertos, cerrados, semiabiertos e infinitos, podemos comenzar.
Si el dominio se refiere a todos los valores de entrada que llevan a un valor de salida en una función, entonces debemos preguntarnos cómo descubrir los valores de entrada en los diferentes tipos de funciones que no nos llevan a un valor de salida (interprétese esto, como si no se puede calcular el valor de la función). Estos valores tienen que ser excluidos del dominio de la función.

Tipo de función y Ejemplo

Búsqueda de restricciones de dominio

Solución

Notación del Dominio

Polinómicas

No tienen restricciones de dominio

No se tiene que calcular nada

D = (-oo,oo) oo es el signo para infinito

Racional 1 f(x) = 1 / (x-4)

Sus restriciones de dominio se encuentran debido a la imposibilidad de dividir entre cero.

Se iguala el denominador a cero, para saber qué valores se deben excluir del dominio x-4=0 ; x = 4 se excluye del dominio Analícese la forma en que están unidos los intervalos, uno termina sin incluir el 4 y el otro comienza sin incluir el 4, por lo tanto el 4 está excluido del dominio.

D = (-oo,4)U(4,oo)

Racional 2

Existen funciones racionales en las cuales el denominador nunca puede ser cero, por lo tanto no tienen restricciones de dominio

Si se iguala el denominador a cero, y no se obtienen valores de x para los cuales el denominador es cero, no hay restricción de dominio  nunca puede dar cero, ya que cualquier valor de x elevado al cuadrado es positivo y sumándole 1 sigue siendo positivo

D = (-oo,oo)

Radical

Las raíces con índice par no tienen solución, si la cantidad debajo del signo del radical es negativa. Esto generalmente genera intervalos de restricciones de dominio

Se resuelve la desigualdad para impedir que el radicando sea negativo x - 8 > 0 x - 8 debe ser mayor o igual a cero, para poder sacar la raíz. Nótese que el intervalo es semicerrado, ya que incluye el 8

D = [8, oo)

Exponencial

No tiene restricciones de dominio

Para cualquier valor de x de entrada hay un valor de salida

D = (-oo, oo)

Logarítmica

No existe el logaritmo de cero ni de un número negativo, por lo tanto se tienen que buscar los valores de x para los cuales si se pueda sacar el logaritmo.

Solo se puede sacar el logaritmo de x-cuadrada menos 1 si esta expresión es positiva. Para x>1 y x<-1 el valor de  es positivo

D = (-oo,-1)U(1,oo)

Mixta 1

Cuando una función es combinación de varias funciones, entonces hay que tener en cuenta cada una de las condiciones anteriores.

La función tiene un denominador que debe ser diferente de cero, pero al mismo tiempo es un radical de índice par, por lo cual no debe ser negativa la cantidad bajo el radical. Por lo tanto

D= (-oo,-2)U(2,oo)

              Se llama Contradominio, Rango o Imagen de una función al conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente, es decir, es el conjunto de valores que puede alcanzar la función. El Contradominio de una función del tipo y = f(x) suele representarse con alguna de estas expresiones: C_f, Rango (f), Im (f).

              El Contradominio, también llamado rango de la función, es el nombre que se le da al segundo conjunto. Esto es, aquel en donde se encuentran los valores relacionados con los elementos del primer conjunto o dominio. Si la función es f: A→ B, el Contradominio es B.

*PRECALCULO

PRECALCULO

SISTEMA DE COORDENADAS LINEALES.

Un punto cualquiera de una recta puede asociarse y representarse con un número real, positivo si está situado a la derecha de un punto O, y negativo si está a la izquierda. Dicho punto se llama centro de coordenadas O (letra O) y se asocia al valor 0 (cero).

Corresponde a la dimensión uno, que se representa con el eje X, en el cual se define un centro de coordenadas, simbolizado con la letra O (de origen) y un vector unitario en el sentido positivo de las x.

Este sistema de coordenadas es un espacio vectorial de dimensión uno, y se le pueden aplicar todas las operaciones correspondientes a espacios vectoriales. También se le llama recta real.

NÚMEROS REALES & SU CLASIFICACIÓN

Un número real puede ser un número racional o un número irracional. Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, tal como 3/4, −21/3, 5, 0, 1/2, mientras que los irracionales son todos los demás. Los números racionales también pueden describirse como aquellos cuya representación decimal es eventualmente periódica, mientras que los irracionales tienen una expansión decimal aperiódica:
Ejemplos 1/4 = 0,250000… ES un número racional puesto que es periódico a partir del tercer numero decimal. 5/7 = 0,7142857142857142857…. ES racional y tiene un período de longitud 6 (repite 714285).
(3√7

SISTEMAS DE COORDENADAS RECTANGULARES
 

     El sistema de coordenadas cartesianas es formado por dos rectas; una horizontal y otra vertical, en el cual ambos se intersecan en el punto  0  de cada recta. Las dos rectas son llamados ejes.

     Estos dos ejes dividen el plano cartesiano en 4 secciones llamadas  cuadrantes. Estos cuadrantes son numerados en forma “contra el reloj” del I al IV de la siguiente forma:

 Cada punto en el plano se puede identificar por un par de números  llamado par ordenado. El primer numero del par, que  se llama la abscisa; está en la recta  horizontal, el eje de x.  El segundo numero  del par se llama la  ordenada que se encuentra en la recta vertical, el eje de y.

  

(1, 4)

                                                                      Eje de x              Eje de y
                                                                     Abscisa               Ordenada
 

Los números negativos y positivos se colocan de la siguiente manera:

El sistema de coordenadas es usada además de localización de puntos en el plano, para graficar el conjunto de soluciones de ecuaciones de dos variables como:

y = 4x + 8
y = x² + 2x + 5
3y = 5x + 8
 

Digamos que queremos hacer la gráfica  la ecuación lineal  y = 3x + 7 . Hay que asignar valores a la  x  y resolverlo  para encontrar el valor de  y.  Con  los resultados se  formaran  los puntos de la gráfica de la siguiente manera:

Ej.  Encontrar los puntos de la ecuación  y = 3x + 7. Vamos a utilizar la siguiente tabla para organizar el trabajo. Le daremos a  la x , los valores  de -2, -1, 0, 1 y 2
 

x	y
-2
-1
0
1
2

Y = 3x + 7
Y = 3(-2) + 7    [Cuando la x es -2, la y es 1]
Y = -6 + 7
Y = 1
 

Y = 3x + 7
Y = 3(-1) + 7    [Cuando la x es -1, la y es 4]
Y = -3 + 7
Y =4
 

Y = 3x + 7
Y = 3(0) + 7    [Cuando la x es 0, la y es 7]
Y = 0 + 7
Y = 7

Y = 3x + 7

Y=3(1) + 7

Y= 3 + 7

Y = 10            [Cuando la x es 1, la y es 10]

Y = 3x + 7

Y= 3(2) + 7

Y= 6 + 7

Y = 13            [Cuando la x es 2, la y es 13]

x	y
-2	1
-1	4
0	7
1	10
2	13

Y así se resuelve con cada valor que le quieras dar a la x  de la tabla. Es por esto que x se llama la variable independiente, ya que le puedes dar cualquier valor de su dominio, que son los valores permitidos para la x. En el caso de está ecuación lineal, x puede ser cualquier número real, pero en nuestro estudio se encontrarán ecuaciones que tienen restricciones en su dominio.

Veamos como queda la gráfica de la ecuación  y = 3x + 7.

Desigualdad e intervalos

Desigualdades:

       Una desigualdad es una proposición que enuncia una relación entre cantidades diferentes. Los símbolos que se utilizan son: > "mayor que" < "menor que"

Postulados:

Postulado aditivo Si a dos miembros de una desigualdad se suman o restan cantidades iguales, el resultado es una desigualdad del mismo sentido.

6>4 y 3=3

Entonces 6 + 3 > 4 + 3

o sea 9>7

Si dos miembros de una igualdad se restan los dos miembros de una desigualdad, el resultado es otra desigualdad de sentido opuesto al de la desigualdad.

10 = 10 y 6>3

entonces 10-6 < 10-3

o sea 4<7

Si cantidades desiguales se multiplican o dividen por un mismo número positivo, las resultantes son desigualdades en el mismo sentido que las primitivas.

Si 5 > 3

Entonces (2) (5) > (2) (3)

O sea 10 > 6

Si cantidades desiguales se multiplican o dividen por un mismo número negativo, las resultantes son desigualdades en sentido opuesto al de las primitivas.

Si 5 > 3

Entonces (-2) (5) < (-2) (3)

o sea - 10 < -6

INTERVALOS DE LA RECTA REAL

Intervalos son conjuntos de números reales que coinciden con tramos de la recta real. Para ello hay una notación específica. Hay distintos tipos de intervalos:

              Intervalo abierto (a,b). Está formado por los números reales x comprendidos entre a y b, excluidos ambos. Se expresa: a< x < b.

              Intervalo cerrado [a,b]. Está formado por los números reales x comprendidos entre a y b, incluidos ambos. Se expresa a≤ x ≤b.

                 Intervalo abierto a la derecha [a,b). Está formado por los números reales x comprendidos entre a y b, incluido a. Se expresa

a≤ x < b

               Intervalo abierto a la izquierda (a,b]. Está formado por los números reales x comprendidos entre a y b, incluido b. Se expresa

a< x ≤b.